Equações

Equações Matemáticas

Podemos definir equação como uma sentença matemática que possui igualdade entre duas expressões algébricas e uma ou mais incógnitas (valores desconhecidos) que são expressadas por letras. Sendo assim, toda equação precisa ter:


· Sinal de igualdade;


· Primeiro membro (antes do sinal de igualdade) e segundo membro (depois do sinal de igualdade);


· Incógnita, que é representada, geralmente, por x, y e z.


Veja os exemplos a seguir e identifique se são equações:


⇒ a) 2x – 6 = 2


Características:


Primeiro membro: 2x – 6


Segundo membro: 2


Possui sinal de igualdade e x é o termo desconhecido; logo, 2x – 6 = 2 é uma equação.


⇒ b) 2 + 4 = 2 – 3


Características:


Primeiro membro: 2 + 4


Segundo membro: 2 – 3


Possui sinal de igualdade, mas não tem incógnita; logo, 2 + 4 = 2 – 3 não é uma equação.


⇒ c) 2x +3y – 1


Nesse exemplo, temos somente uma expressão algébrica. Não é possível determinar o primeiro e o segundo membro, pois a expressão não possui sinal de igualdade. Portanto, 2x +3y – 1 não é uma equação.


Graus da Equação


Existem graus distintos para a equação. Nas equações que possuem somente uma incógnita, o grau é determinado pelo maior valor que os seus expoentes assumem. Veja os exemplos a seguir:


⇒ 2x2 + x = 4


Essa é uma equação de grau 2. Isso porque o maior expoente da incógnita x é 2.


⇒ y5 + 2y4 – y3 + 3y2 + y + 1 = 0


A equação é de grau 5. Observe que 5 é o maior grau para a incógnita y.


Quando a equação possui mais do que uma incógnita, podemos expressar o grau em relação à equação como um todo. Para isso, devemos avaliar o grau de cada monômio da equação. Observe o exemplo:


⇒ Dada a equação: x2y2 + 3x3 = – 5yx, identifique o seu grau em relação à incógnita x e y. Em seguida, encontre o seu grau geral.


- Grau da equação em relação à incógnita x → 3, porque 3 é o maior valor para o expoente de x.


- Gau da equação em relação à incógnita y → 2, porque 2 é o maior valor para o expoente de y.


- Grau geral da equação → 4, pois 4 é o maior grau dos monômios da equação. Veja como cada monômio deve ser avaliado para obtermos essa conclusão:


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x2y2→ 2 + 2 = 4 → 4 é o grau do monômio x2y2;
3x3= 3x3y0 → 3 + 0 = 3 → 3 é o grau do monômio 3x3
5yx → 1 + 1 = 2 → 2 é o maior grau do monômio 5yx.


Classificação das Equações


· Possíveis e determinadas: São equações que admitem pelo menos uma solução.


Exemplo: 2x = 3 → x = 3
2


· Possíveis e indeterminadas: São equação que possuem infinitas soluções.


Exemplo: x + 2 = x + 2 → A incógnita x assume infinitos valores numéricos. Com isso, a equação possui infinitas soluções.


· Impossível: Não possui nenhuma solução.


Exemplos:
0x = 4 → Não é possível realizar a divisão de 4 por 0.
y = y + 2 → y – y = + 2 → 0 = +2 → Não existe equação sem incógnita.


Resolução de Equações


Para resolver equações, utilizamos o princípio aditivo, que consiste em adicionar ou subtrair um valor em ambos os membros da igualdade, e o multiplicativo, em que multiplicamos ou dividimos ambos os membros da equação por um mesmo valor. Observe a solução das equações a seguir para entender melhor esses princípios.


⇒ Exemplo: x + 2 = 4 – 6


Para solucionar essa equação, no primeiro membro deve ficar somente a incógnita e, no outro, os números. Com isso, devemos retirar +2 do primeiro membro da equação. Para que isso seja feito, aplique o principio aditivo, que consiste em adicionar (– 2) nos dois membros da equação:


x + 2 + ( – 2) = 4 – 6 + ( – 2)
x + 0 = 4 – 6 – 2
x = – 4


⇒ Exemplo: y – 3 = + 4
2


Como no primeiro membro da equação deve ficar somente a incógnita, aplique o princípio aditivo para retirar o – 3.


y – 3 + 3 = + 4 + 3
2
y + 0 = + 7
2
1 . y = + 7
2


Agora devemos retirar o ½ do primeiro membro da equação. Para isso, aplique o princípio multiplicativo, efetuando a multiplicação por 2 em ambos os membros da equação.


2 . 1 . y = + 7 . 2
2
2y = + 14
2
y = + 14

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