Conjuntos
A noção de conjunto numérico é
bastante simples e fundamental na Matemática. A partir dos conceitos sobre
conjuntos podemos expressar todos os conceitos matemáticos.
Um conjunto nada mais é do que uma
coleção qualquer de objetos. Por exemplo:
conjunto das estações do ano: E =
{Primavera, Verão, Outono, Inverno}
conjunto dos números primos: B = {2,
3, 5, 7, 11, 13, ...}
Cada item dentro de um conjunto é um
elemento desse conjunto.
A ideia dos conjuntos numéricos segue
uma ordem de acordo com a história da Matemática. Ou seja, à medida que a
matemática avançou, foi necessário a criação de novos conceitos e, com isso,
foram surgindo vários conjuntos de números.
Conjunto dos números naturais (N)
N={0,1,2,3,4,5,6,...}
O número zero é o primeiro elemento
desse conjunto. O sucessor de cada número nesse conjunto é igual à soma dele
mesmo com uma unidade, ou seja, o sucessor de 3 será 4 pois 3 + 1 = 4.
Para representar o conjunto dos
números naturais não-nulos (ou seja, diferentes de zero), deve-se colocar um *
ao lado do símbolo:
N∗={1,2,3,4,5,6,...}
Conjunto dos números inteiros (Z)
Em determinada época da história, se
fez necessário a criação de números que representassem “perdas”, ou “dívidas”.
Surgiram, assim, os números negativos. Esses números negativos, junto com os
números naturais, formam o conjunto dos números inteiros:
Z={...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...}
Nesse conjunto, para cada número há o
seu oposto, ou seu simétrico, por exemplo, 3 e -3 são opostos ou simétricos.
Veja que todo número natural é
inteiro, mas nem todo número inteiro é natural. Dizemos que o conjunto dos
números naturais está contido no conjunto dos números inteiros.
Conjunto dos números racionais (Q)
Com a necessidade de descrever partes
de algo inteiro, surgiram as frações. Quando adicionamos as frações aos números
inteiros, obtemos os números racionais. São exemplos números racionais:
Q={−1,−25,43,5,...}
Formalmente, um número racional é todo
aquele que pode ser escrito na forma de uma fração. Assim,
Q={x/x=ab,a∈Z,b∈Z,b≠0}
Observe que todo número inteiro é
racional, mas nem todo número racional é inteiro. Por exemplo, -1 é inteiro e é
racional, mas 43 é racional e não é inteiro. Assim, o conjunto dos números
inteiros está contido no conjunto dos números racionais:
Conjunto dos números irracionais (IR)
O conjunto dos números irracionais é
composto por todos os números que não são possíveis de se descrever como uma
fração. É o caso das raízes não exatas, como 2–√, 3–√, 5–√, e do número π, do
logaritmo neperiano, o número de ouro ϕ (fi), por exemplo.
Este conjunto não está contido em
nenhum dos outros três, ou seja, nenhum número irracional é racional, inteiro
ou natural e nenhum número natural, inteiro ou racional é irracional.
Conjunto dos números reais (R)
Da reunião do conjunto dos números
racionais com os números irracionais obtemos o conjunto dos números reais.
Podemos dizer que o conjunto dos números reais é formado por todos os números
que podem ser localizados em uma reta numérica.
Assim, todo número que é irracional é
real, assim como os naturais, inteiros e racionais.
Existem ainda conjuntos maiores, que
englobam todos vistos até aqui. Um exemplo é o conjunto dos números complexos.
São números que possuem uma parte real e uma arte imaginária, chamada de “i”.
São números da forma a+bi, onde a é a parte real e b é a parte imaginária.
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